Warning: call_user_func_array() expects parameter 1 to be a valid callback, class 'cMath' does not have a method 'P' in /volume1/web/lycee/fonctions/fonctions.php on line 163 Call Stack: 0.0002 352512 1. {main}() /volume1/web/lycee/ressources_scolaires/TES/11 - Loi Normale/Cours/Loi normale.php:0 0.0006 353328 2. cMath->add() /volume1/web/lycee/ressources_scolaires/TES/11 - Loi Normale/Cours/Loi normale.php:51 0.0056 365648 3. cMath->commands() /volume1/web/lycee/fonctions/fonctions.php:113 0.0622 387920 4. cMath->commands() /volume1/web/lycee/fonctions/fonctions.php:158

 Chapitre 11 - Loi Normale

  • Connaître la fonction de densité de la loi normale \(\mathcal{N}(0,1)\)
  • Connaître une valeur approchée de la probabilité de l'évènement \([X\in [-1,96;1,96]]\) lorsque \(X\) suit la loi \(\mathcal{N}(0,1)\)
  • Utiliser une calculatrice ou un tableur pour obtenir une probabilité dans le cadre d'une loi normale \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\)
  • Connaître une valeur approchée de la probabilité des évènements \([X\in [\mu - \sigma;\mu + \sigma]]\), \([X\in [\mu - 2 \sigma;\mu + 2 \sigma]]\), \([X\in [\mu - 3\sigma;\mu + 3\sigma]]\)

IAvant-propos

De nombreuses études statistiques de champs variés (biologie, étude des populations, économie, ...) ont en commun de présenter une majorité dominante moyenne, et des extrèmes rares.
Par exemple, une majorité des hommes mesure entre 1,65m et 1,85m tandis qu'il y a une minorité de grands et de petits. La courbe suivante colorie cette minorité (5 % avec 2,5% de petits et 2,5% de grands) : Le même type de courbe apparaît sur des études statistiques de poids ou de pointures de pieds.
Ce type de courbe s'appelle une courbe de Gauss ou gaussienne, en référence au mathématicien Carl Friedrich Gauss.
Les études sur le quotient intellectuel font aussi apparaître une gaussienne :
Notation d'un film sur le site allociné :
Il est possible de retrouver des gaussiennes pour de nombreux autres exemples : répartition de la population à distance d'une ville importante, température à proximité d'une source de chaleur (ampoule, soleil,...), magnitude des tremblements par rapport à la distance de l'épicentre d'un séisme, etc.

IILoi normale centrée réduite

1Généralités

Une variable aléatoire \(X\) sur \(\mathbb{R}\) suit une loi normale centrée réduite si sa fonction de densité est : $$f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$$ On note cette loi \(\mathcal{N} (0,1)\)
La courbe obtenue s'appelle une gaussienne ou courbe de Gauss. Elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
L'aire sous la courbe vaut 1 car \(f\) est une densité de probabilité. Ainsi : $$\int_{-\infty}^{+\infty}{ \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} dx} = 1$$

2Probabilités

Soit \(X\) une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite \(\mathcal{N}(0,1)\) :
  • \(P (X \gt 0) = \frac{1}{2}\)
  • \(P (X \leq 0) = \frac{1}{2}\)
  • \(P (-1,96 \leq X \leq 1,96) \simeq 0,95\)
  • Les deux premières égalités se justifient car la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et que son aire totale vaut 1.
  • Il faut comprendre que \(95 \%\) de l'aire de la courbe se trouve entre \(-1,96\) et \(1,96\)

IIILoi normale \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\)

1Généralités

Une variable aléatoire \(X\) sur \(\mathbb{R}\) suit une loi normale \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\) si \(\frac{X - \mu}{\sigma}\) suit une loi normale centrée réduite
Les deux paramètres \(\mu\) et \(\sigma\) correspondent à l'espérance et à l'écart type de la variable aléatoire \(X\). On note
  • \(E (X) = \mu\)
  • \(V (X) = \sigma^2\) s'appelle la variance
  • \(\sigma = \sqrt{V (X)}\)
On peut les interprétations suivantes pour ces valeurs :
  • L'espérance correspond à la valeur obtenue en moyenne par la variable aléatoire
  • L'écart type correspond à l'écart en moyenne constaté entre deux issues de la variable aléatoire
On considère (empiriquement) que chez les hommes adultes, la pointure de chaussures est distribuée avec une moyenne de 42 et un écart type de 1,5. \(X\) est la variable aléatoire comptant la fréquence d'hommes chaussant la même pointure. \(X\) suit une loi normale \(\mathcal{N}(42;1,5^2)\).
Plus l'écart type est grand, plus les valeurs prises aléatoirement sont "dispersées". On peut observer les fontions de densité de deux lois normales \(\mathcal{N}(0;1)\) et \(\mathcal{N}(0;2)\), toutes deux centrées en 0, d'aire 1 et d'écarts types différents :
On observer que la probabilités \(\) est plus importante quand l'écart type est plus petit (valeurs moins dispersées).

2A la calculatrice

Nous reprenons l'exemple des pointures masculines, suivant une loi \(\mathcal{N}(42,4;1,3^2)\). Donc \(\mu = 42\) et \(\sigma = 1,5\).

ACalcul d'une probabilité

Pour calculer \(P (41 \lt X \lt 43)\) sur la TI-82 :
  • Aller dans le menu Distrib (faire
    +
    distrib
    var
     )
  • Sélectionner la deuxième fonction
    normalFRép
    (faire
    préc
    résol
    Entrer
     )
  • On doit donner 4 informations dans l'ordre 41, 43, \(\mu\) et \(\sigma\). On tape donc
    normalFRép (41,43,42,1.5)
    . Appuyer sur
    préc
    résol
    Entrer
Le résultat obtenu nous indique que environ 49,5% des hommes chaussent entre 41 et 43 (pour cette loi).
Pour calculer \(P (41 \lt X \lt 43)\) sur la CASIO Graph35+:
  • Aller dans le menu OPTN, choisir STAT (F5), puis DIST (F5), puis NORM (F1)
  • Sélectionner Ncd
  • On doit donner 4 informations dans l'ordre 41 (Lower), 43 (Upper), \(\sigma\) et \(\mu\). Exécuter
Le résultat obtenu nous indique que environ 49,5% des hommes chaussent entre 41 et 43 (pour cette loi).

BTracer la fonction de densité

Tracer avec la TI82 :
  • Aller dans
    g stats
    f1
    f (x)
     et effacer les anciennes fonctions (penser à désactiver Graph1, 2, ...)
  • >Aller dans le menu Distrib (faire
    +
    distrib
    var
     )
  • Sélectionneret écrire
    normalFdp (X,42,1.5)
  • Régler la fenêtre dans
    déf table
    f2
    fenêtre
     avec les valeurs suivantes :
  • Xmin = \(\mu - 4 \sigma = 42 - 4\times1,5 = 36\)
  • Xmax = \(\mu + 4 \sigma = 42 + 4\times1,5 = 48\)
  • Pour régler facilement
    Ymin
    et
    Ymax
    , aller dans
    format
    f3
    zoom
     et sélectionner
    ZminMax
    (le dernier)
Tracer avec la CASIO Graph35+ :
  • Aller dans le Menu et choisir Graph puis saisir la fonction dans Y1 :
  • >menu OPTN puis F6 et F3 (STAT)
  • choisir NORM (F1) puis F1 et écrire NormPD (X, 1.5, 42)
  • Régler la fenêtre dansavec les valeurs suivantes :
  • Xmin = \(\mu - 4 \sigma = 42 - 4\times1,5 = 36\)
  • Xmax = \(\mu + 4 \sigma = 42 + 4\times1,5 = 48\)
  • Pour régler facilement Ymin et Ymax, aller dans le menu ZOOM et sélectionner AUTO